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| 科目代碼 | 科目名稱 | 參考書目 | 考試大綱 | 備注 |
| 828 | 高等代數 | 《高等代數》（第四版），北京大學，高等教育出版社，2013年出版； |
一、考試目的與要求 要求考生系統地理解高等代數的基本概念和基本理論，掌握高等代數的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力。 二、考試范圍 1、多項式理論 考察多項式的相關概念、基本性質、一元多項式的帶余除法、不可約多項式的性質和判定、最大公因式的性質、三種具體數域上多項式的不可約分解定理。 2、行列式 理解行列式的概念，掌握行列式的性質、行列式的乘法法則。會應用行列式概念和基本性質計算行列式，能夠熟練掌握行列式按行(列)展開定理，能夠運用遞推公式計算一些經典類型的行列式。 3、向量和矩陣 向量的線性組合和線性表示，向量組的等價，向量組的線性相關與線性無關，極大線性無關組，向量組的秩，向量組的秩與矩陣的秩之間的關系。矩陣的概念，矩陣的基本運算，矩陣的轉置，伴隨矩陣，逆矩陣的概念和性質，矩陣可逆的充分必要條件，矩陣的初等變換和初等矩陣，矩陣的秩，矩陣的等價，分塊矩陣及其運算。 4、線性方程組 線性方程組的克萊姆法則，齊次線性方程組有非零解的充分必要條件，非齊次線性方程組有解的充分必要條件，線性方程組解的性質和解的結構，齊次線性方程組的基礎解系和通解，解空間及維數，非齊次線性方程組的通解。 5、二次型 二次型及其矩陣表示，非退化線性替換與矩陣合同，二次型的秩與慣性定理，二次型的標準形和規范形，實對稱矩陣的正定性。 6、線性空間 線性空間的概念與基本性質，線性空間的維數、基與向量的坐標，線性空間中的基變換與坐標變換，過渡矩陣，線性子空間及其運算，線性空間的同構。 7、線性變換 線性變換的概念和簡單性質，線性變換的運算，線性變換的矩陣，線性變換(矩陣)的特征值、特征向量和特征子空間，線性變換的特征多項式及Hamilton-Caylay定理，矩陣相似的概念及性質，矩陣可對角化的充分必要條件，線性變換的值域與核，線性變換的不變子空間，矩陣的若當標準型。 8、歐幾里德空間 線性空間內積的定義及其性質，歐幾里德空間的概念，標準正交基，施密特正交化過程，正交矩陣，正交變換及其性質，正交子空間、正交補及其性質，實對稱矩陣的特征值、特征向量，對角化，歐幾里德空間的同構。 主要參考書目: 《高等代數》，北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組編，2013年8月第4版，高等教育出版社出版 三、試題結構 1.考試時間：3小時 2.試題類型： 填空題30%，計算題15%，證明題55% |
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| 643 | 數學分析 | 數學分析 (上、下冊，第四版)，華東師范大學數學系編，高等教育出版社出版。 | 一、考試目的與要求 掌握函數概念及性質、數列極限的概念及計算；掌握實數基本定理、函數極限概念理論及計算；掌握函數連續性概念、理論；掌握導數與微分的概念、幾何意義及計算；掌握一元函數中值定理及應用；掌握不定積分計算、定積分計算及應用；掌握數值級數審斂法、反常積分審斂法；掌握函數列與函數項級數收斂概念和判別方法；掌握冪級數基本概念、基本性質和基本理論；了解傅里葉級數基本概念、基本性質和基本理論；多元函數的極限與連續；多元函數微分學；了解隱函數定理；掌握含參變量積分、變限積分和線面積分。 二、考試范圍 1. 函數： 實數概述，區間與鄰域，函數概念，有界函數，單調函數，奇函數和偶函數，周期函數，復合函數，反函數，基本初等函數，初等函數。 2. 數列極限： 數列極限定義，收斂數列的性質及運算，單調有界數列極限存在定理，兩個重要極限。 3. 實數的基本定理： 確界存在定理，區間套定理，Cauchy準則，聚點原理，有限覆蓋定理，上下極限。 4. 函數極限： 極限定義、性質，Heine定理，單側極限，Cauchy準則，無窮小量及其階的比較，記號o， O，～，廣義極限，無窮大量及其階的比較。 5. 函數的連續性： 函數在一點連續性，單側連續，間斷點及其分類，函數在區間上的連續性，連續函數的局部有界性，保號性，有理運算。復含函數連續性，有齊閉區間上連續函數的性質，反函數連續性，初等函數的連續性。 6. 導數與微分： 導數定義，單側導數，導函數，導數的幾何意義，無窮大導數，和、差、積、商的導數，反函數的導數，復合函數的導數，初等函數的導數；微分概念，微分的幾何意義，微分的運算法則，一階微分形式的不變性，微分在近似計算中的應用，高階導數與高階微分，由參量方程所表示的曲線的斜率。7. 中值定理與導數應用： 費馬(Fermat)定理，羅爾(Rolle)中值定理，拉格朗日(lagrange)中值定理，柯西(Cauchy)中值定理，泰勒(Taylor)定理(泰勒公式及其拉格朗日型余項)，近似計算，函數單調性的判別法，極值，最大值與最小值，曲線的凹凸性、拐點、漸近線，函數圖象的討論，羅比塔(L′Hospital)法則。 8. 不定積分： 原函數與不定積分概念，基本積分表，線性運算法則，換元積分法，分部積分法，有理函數積分法，三角函數有理式的積分，幾種無理函數的積分. 9. 定積分： 定積分定義，幾何意義，可積的必要條件，上和、下和及其性質，可積的充要條件，閉區間上連續函數、在閉區間只有有限個間斷點的有界函數、單調有界函數的可積性，定積分性質，微積分學基本定理，牛頓—萊布尼茨公式，換元積分法，分部積分法，近似計算。 10. 定積分的應用： 簡單平面圖形面積，曲線的弧長與弧微分，曲率，已知截面面積函數的立體體積，旋轉體積與側面積，平均值，物理應用(壓力、功、靜力矩與重心等)。 11. 數項級數： 級數收斂與和的定義，柯西準則，收斂級數的基本性質，正項級數，比較原則，比式判別法與根式判別法，拉貝(Raabe)判別法與高斯判別法，一般項級數的絕對收斂與條件收斂，交錯級數，萊不尼茨判別法，阿貝爾(Abel)判別法與狄利克雷(Dirichlet)判別法，絕對收斂級數的重排定理，條件收斂級數的黎曼(Riemann)定理。 12. 反常積分： 無窮限反常積分概念，柯西準則，線性運算法則，絕對收斂，反常積分與數項級數的關系，無窮限反常積分收斂性判別法。 無界函數反常積分概念，無界函數反常積分收斂性判別法。 13. 函數列與函數項級數： 函數列與函數項級數的收斂與一致收斂概念，一致收斂的柯西準則，函數項級數的維爾斯特拉斯(Weierstrass)優級數判別法，阿貝爾判別法與狄利克雷判別法*，函數列極限函數與函數項級數和的連續性，逐項積分與逐項微分。 14. 冪級數： 阿貝爾第一定理，收斂半徑與收斂區間，一致收斂性，收斂性，連續性逐項積分與逐項微分冪級數的四則運算。泰勒級數，泰勒展開的條件，初等函數的泰勒展開近似計算，用冪級數定義正弦、余弦函數。 15. 傅里葉(Fourier)級數： 三角級數，三角函數系的正交性，傅里葉級數、貝塞爾(Bessel)不等式，黎曼—勒貝格(Riemann-lebesgue)定理，傅里葉級數的部分和公式，按段光滑且以2π為周期的函數展開為傅里葉級數的收斂定理，奇函數與偶函數的傅里葉級數，以2L為周期的函數的傅里葉級數。 16. 多元函數的極限與連續： 平面點集概念(鄰域、內點、界點、開集、閉集、開域、閉域等)。平面點集的基本定理—區域套定理、聚點定理、有限覆蓋定理。二元函數概念。二重極限，累次極限，二元函數的連續性，復合函數的連續性定理，有界閉域上連續函數的性質。n維空間與n元函數(距離、三角形不等式、極限、連續等)。 17. 多元函數的微分學： 偏導數及其幾何意義，全微分概念，全微分的幾何意義，全微分存在的充分條件、全微分在近似計算中的應用，方向導數與梯度，復合函數的偏導數與全微分，一階微分形式的不變性，高階導數及其與順序無關性，高階微分，二元函數的泰勒定理，二元函數極值。 18. 隱函數定理的及其應用： 隱函數概念，隱函數定理，隱函數求導。 隱函數組概念，隱函數組定理，隱函數組求導，反函數組與坐標變換，函數行列式，函數相關。幾何應用，條件極值與拉格朗日乘數法。 19．含參量積分： 含參量積分概念，連續性、可積性與可微性，積分順序的交換。含參量反常積分的收斂與一致收斂，一致收斂的柯西準則，維爾斯特拉斯判別法，連續性、可積性與可微性，積分順序的交換，Γ函數與B函數。 20. 重積分： 平面圖形面積，二重積分定義與存在性，二重積分性質，二重積分計算(化為累次積分)，二重積分的換元法(極坐標變換與一般變換)。三重積分定義與計算，三重積分的換元法(柱坐標變換、球坐標變換與一般變換)。重積分應用(體積，曲面面積，重心，轉動慣量等)。n重積分。無界區域上及無界函數反常二重積分的收斂性概念。 21. 曲線積分與曲面積分： 第一型和第二型曲線積分概念與計算，格林公式，曲線積分與路徑無關條件。曲面的側，第一型和第二型曲面積分概念與計算，奧斯特羅格拉特斯基一高斯公式，斯托克斯公式、場論初步(場的概念，梯度、散度、旋度）。 三、試題結構 1.考試時間：3小時 2.試題類型：選擇題15%，填空題15%，計算題30%，證明題40% |
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